閾値と相対度数

カテゴリカル因子分析は、背後に標準正規分布zを想定して、因子負荷量αと閾値τを決めるものである。
現在αとτが得られている。ここから例のエクスポネンシャルカーブ、1/1+exp(-1.7a(θ-b))を書きたい。

τだけ見ていても、だいたいの正規分布の位置がわかる(プラスやマイナスに寄っている)んだけど、二母数ロジスティック関数の位置母数のような形で知りたい、というのが昨日からの悩みだったわけで。

で、考えたんだけど、τと実際の相対度数がわかれば、それはわかるハズである。カテゴリ1と反応するのが0.3あったとしたら、正規分布のマイナス∞から積分して、面積が0.3になるところでτ0があるはずだからだ。というか、そういうτやαを推定するはずである。大変面倒だけど、この考えで標準正規分布zの平均を考える=累積確率0.5の位置を特定することが可能だろう。

たぶん、考え方として間違えてない。ちゃんとした証明をする気がないし*1、カテゴリカル因子分析やIRTの数学的ウラをとってるわけじゃないけど、ロジックとして大丈夫なはずだ。うん。

この考えに至るまで、三日ほどずーっと悩んでいたのですが、今朝ふと目が覚めたら思いついていた。
こういう事ってあるんだね。インキュベートってやつ?*2

*1:数学者としてはこれはまずいんだけど、実用化としてはこれの証明に時間をかけてて論文が書けなくなる方がマズイ。っていうか、数学者ならきっとこんな事で悩まない!おそらく自明なことをウンウン言うてるだけなのである。こういう時ってホントに、自分の数学的才能の無さを恨むねぇ。

*2:孵化する、熟考する、の意。インキュ・・・なんとかだった・・・と思って辞書を調べたらこの単語が出てきた。これであってるかな。でもまぁ大意が合ってるから良し。

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